Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (5)

Geometrische Konstruktion Nr. 16:
Diese Konstruktion ist eine weitere, die vom gleichseitigen Dreieck ausgeht, aber dessen Umkreis zur Konstruktion benötigt. Um den Mittelpunkt D eines beliebigen gleichseitigen Dreiecks ABC wird dessen Umkreis geschlagen. Die Winkelhalbierende durch C teilt die Strecke AB mittig und schneidet den Umkreis in Punkt E. Um E wird nun ein Kreis mit dem doppelten Umkreisradius geschlagen, also mit dem Durchmesser EC des Umkreises als neuem Radius. Dessen Schnittpunkt mit der Verlängerung der Strecke AB ergibt den Punkt F. B teilt die Strecke AF im Goldenen Schnitt.

Varianten der geometrischen Konstruktion Nr. 16:
Über die Verknüpfung des Goldenen Schnittes mit dem gleichseitigen Dreieck tritt auch das regelmäßige Sechseck mit diesem in Beziehung: Die "kurze Diagonale" eines regelmäßigen Sechsecks wird im Goldenen Schnitt verlängert, indem um die dazwischen liegende Ecke ein Kreis mit dem Radius der "langen Diagonale" geschlagen wird. Denn die Ecken des Sechsecks liegen bekanntlich alle auf dem Umkreis. Beweis analog zu obiger Darstellung.

Analoges gilt natürlich auch für den regelmäßigen sechszähligen Stern: Die Verbindung von einer Spitze zur übernächsten wird im Goldenen Schnitt verlängert, indem um die dazwischen liegende Spitze ein Kreis mit dem Radius des Abstandes von einer Spitze zur überübernächsten Spitze geschlagen wird. Beweis analog zu obiger Darstellung. In dieser Form entspricht der Zusammenhang dem von Alfred Hoehn dargestellten:

Geometrische Konstruktion Nr. 17:
Zur Erweiterung der gesuchten Strecke im Goldenen Schnitt braucht man nicht das ganze große gleichseitige Dreieck wie in der verwandten Konstruktion Nr. 5 aufzuzeichnen, es genügt das kleinere obere Teildreieck. Hier eine Konstruktion, die nach dem gleichen Prinzip funktioniert, aber mit einer anderen Methode zur Gewinnung des Mittelpunktes des großen Kreises als in Konstruktion 16 und einem etwas anderem Beweis als in Konstruktion 5. Man beachte die Nähe der Konstruktionen, der Unterschied ist lediglich die etwas andere Art der Erzeugung des Punktes D (in Konstruktion 16 ist es E). Die Konstruktionen 5, 16 und 17 sind mehrere Gesichter desselben Prinzips. Die Verbindung zwischen den Konstruktionen 16 und 17 ist der Satz des Thales (der Peripheriewinkel eines Dreiecks über dem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter Winkel).

Gegeben sei die Strecke AB. Über der Strecke wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet durch Schlagen von Kreisen um A und um B mit dem Radius AB. Der Schnittpunkt beider Kreise sei C. Auf den Verbindungsgeraden AC und BC werden die Senkrechten errichtet, deren Schnittpunkt D sei. Um D wird ein Kreis mit dem Radius DC geschlagen. Dessen Schnittpunkt mit der Verlängerung von AB sei E. Der Punkt E markiert die äußere Teilung der Strecke AB. Die Strecken BE, AB und AE verhalten sich zueinander wie der Goldene Schnitt.

Ausgangspunkt des Beweises ist der Kathetensatz (Satz des Euklid): In jedem rechtwinkligen Dreieck (hier CBD oder ADC) hat das Quadrat über einer Kathete den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse und dem der betreffenden Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.

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