Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (3)

Geometrische Konstruktion Nr. 11:
Eine ganz einfache und ästhetische Konstruktion von Bengt Erik Erlandsen (2006). Einzige Konstruktionshilfe sind 3 Kreise mit gleichem Radius r, deren Mittelpunkte auf einer Geraden liegen. Eine Linie verbinde die entgegengesetzten "Scheitelpunkte" der äußeren Kreise A und B miteinander. Die Schnittpunkte der roten Verbindungslinie mit dem mittleren Kreis seien C und D. C teilt den Abschnitt AD im Verhältnis des Goldenen Schnittes. D teilt den Abschnitt CB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Die Abschnitte AC und DB sind 0.618 des Kreisdurchmessers CD. Die Strecken AD und CB sind das 1.68 fache des Kreisdurchmessers CD.

Geometrische Konstruktion Nr. 12:
Eine verblüffende Konstruktion von Samuel S. Kutler aus den 1980er Jahren: Er geht von drei Kreisen K1, K2 und K3 mit gemeinsamem Mittelpunkt, aber unterschiedlichen Radien a, b, und c aus. Eine Tangente wird an den innersten Kreis angelegt. Sie schneidet den mittleren Kreis in den Punkten A und B. Wird die Tangente auf den äußeren Kreis verlängert, erhält man den Schnittpunkt C. Der Punkt B teilt die Streke AC genau dann im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn die Diophantische Gleichung c^2 = 5*b^2 - 4 * a^2 erfüllt ist (Diophantische Gleichung: Nur ganzzahlige Lösungen sind erlaubt). Dafür gibt es mehrere Lösungen. Eine davon ist ein Radien-System 1, 2 und 4.

Geometrische Konstruktion Nr. 13:
Auf eine ebenfalls sehr schöne Konstruktionsmöglichkeit wies mich Jo Niemeyer hin, der sich seit über 30 Jahren als Künstler mit dem Goldenen Schnitt befaßt (Quelle: Jo Niemeyer, Skizzen "Goldener Schnitt" aus Arbeits-/Handzeichnungen 1978-2006, Skizze 21, 61 und 62). Ihm sei an dieser Stelle für den Beitrag ganz herzlich gedankt. Auf einer gegebenen Strecke AB wird senkrecht in B die Strecke BC gezeichnet, wobei die Länge BC der halben Strecke AB entspricht. Um A wird ein Kreis K1 durch C geschlagen, der Schnittpunkt mit der Verlängerung der zu teilenden Strecke AB ist D. In D wid senkrecht die Strecke DE gezeichnet, wobei die Länge DE wiederum der halben Strecke AB entspricht. Um D wird ein zweiter Kreis K2 mit dem Radius DE geschlagen. Dessen Schnittpunkt F mit der ursprünglichen Strecke AB teilt diese im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

mathematischer Beweis:

Dieses Prinzip kann man auch nutzen, um aus einem Quadrat auf einfache Weise ein Goldenes Rechteck (in rosa) zu konstruieren:

Analog zur Verkleinerung der Strecke kann man sie nach dem selben Prinzip im Verhältnis des Goldenen Schnittes auch vergrößern, indem man den Kreis um D durch E nicht nach innen, sondern nach außen schlägt, wodurch der Schnittpunkt G mit der Verlängerung der ursprünglichen Strecke AB entsteht. Die ursprüngliche Strecke AB und die Gesamtstrecke AG bilden das Verhältnis des Goldenen Schnittes:

Eine sehr ästhetische Darstellung dieses Prinzipes, bei dem man im Goldenen Schnitt wahlweise nach innen teilen oder nach außen erweitern kann, stammt gleichfalls von Jo Niemeyer. Bei dieser Darstellung wird die Gleichheit der Kreisbögen in Grundeinheit und Erweiterungseinheit bzw. Teilungseinheit hervorgehoben. Schlüsselstelle der Konstruktion ist wie oben der seitliche Versatz CE bzw. BD durch Übertragung des Diagonalmaßes HB = HE.

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